辗转相除法、更相减损术求最大公约数的python实现

2017年3月26日 18:47 by wst

数学知识

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辗转相除法

注：本文所有代码均为python2.7实现

简单证明辗转相除法的原理

1.解析：
8251＝6105＋2146,为了表示简单,我就用a=b+c表示这个吧 
于是有c=a-b 
那么如果有d|a,且d|b,就必然有d|a-b,也就是d|c,
（d|a表示：d为a的约数）
可见a和b的公约数必然也是c的约数.
现在假设d是a和b的最大公约数,那么d也必然是c的约数,于是d是b,c的公约数,现在就要证明它是最大公约数：

2.证明：
因为a=b+c,于是b,c的公约数也必然是a的约数,假设(b,c)=e,
（(b,c)=e表示e为b和c的最大公约数）那么有e|b+c,即e|a
根据"d是b,c的公约数"知道d|e，,
又因为e也是a,b的公约数,e|d,综上有e=d 
可见(a,b)=(b,c)=d 

（这个思想一推广,就成了辗转相除法了）

3.实现

def euclidean_algorithm(a,b):
    """辗转相除法求最大公约数"""
    if a < b:
        a, b = b, a
    r = 1
    while r != 0:
        r = a % b
        a = b
        b = r
    return a

《九章算术》更相减损术

思想

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，原文是：

可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

白话文译文：

（如果需要对分数进行约分，那么）可以折半的话，就折半（也就是用2来约分）。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。

使用步骤

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。

实现

def gengxianjiansun(a, b):
    """《九章算术》中的“更相减损术”"""
    if a < b:
        a, b = b, a
    # 初始化差的集合为空
    divisors = []
    # 初始化最大公约数为1
    num = 1

    # 第一步：判断是否都是偶数
    if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
        a, b = a/2, b/2
        num *= 2

    # 第二步：更替相减
    r = a - b
    while r not in divisors:
        divisors.append(r)
        a = max(b, r)
        b = min(b, r)
        r = a - b
    return num * r

 附完整代码

# -*- coding:utf-8 -*-

def euclidean_algorithm(a,b):
    """辗转相除法求最大公约数"""
    if a < b:
        a, b = b, a
    r = 1
    while r != 0:
        r = a % b
        a = b
        b = r
    return a


def gengxianjiansun(a, b):
    """《九章算术》中的“更相减损术”"""
    if a < b:
        a, b = b, a
    # 初始化差的集合为空
    divisors = []
    # 初始化最大公约数为1
    num = 1

    # 第一步：判断是否都是偶数
    if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
        a, b = a/2, b/2
        num *= 2

    # 第二步：更替相减
    r = a - b
    while r not in divisors:
        divisors.append(r)
        a = max(b, r)
        b = min(b, r)
        r = a - b
    return num * r

if __name__ == "__main__":
    print euclidean_algorithm(8,9)
    print gengxianjiansun(8,20)

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